|
|
 |
Условие
Существует ли число, кратное 2020, в котором всех цифр 0, 1, 2, ..., 9 поровну?
Решение
2020 = 20·101, поэтому, например, число 10198987676545432320 подходит.
Ответ
Существует.
Замечания
1. Еще пример: 19193838474756562020. Можно использовать и другие идеи. Так, поскольку 1111 делится на 101, подходит число 111122223333...99990000. Так как $10^{10}+1$ делится на 101, то подходит 12345679801234567980. Также есть подходящие числа, в которых каждая цифра повторяется по одному разу, например, 1237548960. В подборе этих чисел может помочь признак делимости на 101, который аналогичен признаку делимости на 11: если разбить запись числа на блоки по две цифры (начиная с конца), то знакопеременная сумма полученных двузначных чисел должна быть кратна 101 (например, 12 - 37 + 54 - 89 + 60 = 0).
4 балла.
