Processing math: 57%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66859
Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Алёша задумал натуральные числа a,b,c, а потом решил найти такие натуральные x,y,z, что  a = НОК(x,y),b = НОК(x,z),c = НОК(y,z).  Оказалось, что такие x,y,z существуют и определены однозначно. Алёша рассказал об этом Боре и сообщил ему только числа a и b. Докажите, что Боря может восстановить c.


Решение

Пусть произвольное простое p входит в x,y,z в степенях  k.  Если  l > 0,  то можно изменить m в пределах от 0 до l, не меняя a, b, c. Поэтому x, y, z попарно взаимно просты. Значит, a = xy, b = xz, c = yz = \frac{\mbox{НОК}(a,b)}{\mbox{НОД}(a,b)}.

Замечания

1. Если для произвольных попарно взаимно простых k, l, m задумать числа kl, lm, mk, то x, y, z действительно найдутся единственным образом.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 41
Год 2019/20
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .