Задача 66859

Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Алёша задумал натуральные числа $a, b, c$, а потом решил найти такие натуральные $x, y, z$, что  $a$ = НОК($x, y), b$ = НОК($x, z), c$ = НОК($y, z$).  Оказалось, что такие $x, y, z$ существуют и определены однозначно. Алёша рассказал об этом Боре и сообщил ему только числа $a$ и $b$. Докажите, что Боря может восстановить $c$.

Решение

Пусть произвольное простое $p$ входит в $x, y, z$ в степенях  $k \geqslant l \geqslant m$.  Если  $l$ > 0,  то можно изменить $m$ в пределах от 0 до l, не меняя $a, b, c$. Поэтому $x, y, z$ попарно взаимно просты. Значит, $a = xy, b = xz, c = yz = \frac{\mbox{НОК}(a,b)}{\mbox{НОД}(a,b)}$.

Замечания

1. Если для произвольных попарно взаимно простых $k, l, m$ задумать числа $kl, lm, mk$, то $x, y, z$ действительно найдутся единственным образом.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Номер	41
Год	2019/20
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	2