ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 66858  (#1)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

На плоскости даны две параболы: $y=x^2$ и $y=x^2-1$. Пусть U – множество всех точек плоскости, лежащих между параболами (включая точки на самих параболах). Существует ли отрезок длины более $10^6$, целиком содержащийся в U?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66859  (#2)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Алёша задумал натуральные числа a, b, c, а потом решил найти такие натуральные x, y, z, что a=НОК(x, y), b=НОК(x, z), c=НОК(y, z). Оказалось, что такие x, y, z существуют и определены однозначно. Алёша рассказал об этом Боре и сообщил ему только числа a и b. Докажите, что Боря может восстановить c.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66860  (#3)

Темы:   [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Тетраэдр (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Может ли в сечении какого-то тетраэдра двумя разными плоскостями получиться два квадрата: один – со стороной, не большей 1, а другой – со стороной, не меньшей 100?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66861  (#4)

Тема:   [ Комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

К Ивану на день рождения пришли 2N гостей. У Ивана есть N чёрных и N белых цилиндров. Он хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или несколько) так, чтобы в каждом хороводе было хотя бы два человека и люди в цилиндрах одного цвета не стояли в хороводе рядом. Докажите, что Иван может устроить бал ровно (2N)! различными способами. (Цилиндры одного цвета неразличимы; все гости различимы.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 66862  (#5)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Дидин М.

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в двух точках $X_{1}$ и $Y_{1}$. Окружности с диаметрами ВС и АD пересекаются в двух точках $X_{2}$ и $Y_{2}$. Окружности с диаметрами AС и ВD пересекаются в двух точках $X_{3}$ и $Y_{3}$. Докажите, что прямые $X_{1} Y_{1}, X_{2} Y_{2}, X_{3} Y_{3}$ пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .