|
|
 |
Условие
Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Окружности с диаметрами $AB$ и $CD$ пересекаются в двух точках $X_{1}$ и $Y_{1}$. Окружности с диаметрами $ВС$ и $АD$ пересекаются в двух точках $X_{2}$ и $Y_{2}$. Окружности с диаметрами $AС$ и $ВD$ пересекаются в двух точках $X_{3}$ и $Y_{3}$. Докажите, что прямые $X_{1}Y_{1}, X_{2}Y_{2}, X_{3}Y_{3}$ пересекаются в одной точке.
Решение 1
Наряду с каждой точкой $M$ будем рассматривать её радиус-вектор m = $\overline{OM}$, где $O$ – центр описанной окружности четырёхугольника $ABCD$.
Радиус-вектор центра окружности Ω$_{AB}$, построенной на отрезке $AB$ как на диаметре, равен ½ (a + b), а её радиус равен ½ |a – b|. Степень точки $S$ c радиус-вектором ½ (a + b + c + d) относительно Ω$_{AB}$ равна ¼ (c + d)² – ¼ (a – b)² = ½ (c, d) + ½ (a, b) (поскольку |a| = |b| = |c| = |d|). Очевидно, степень точки $S$ относительно Ω$_{CD}$ будет такой же. Значит, $S$ лежит на радикальной оси $X_{1}Y_{1}$ этих окружностей.
Аналогично $S$ лежит на $X_{2}Y_{2}$ и $X_{3}Y_{3}$, что и требовалось.
Решение 2
Теорема Монжа. Перпендикуляры, опущенные из середин сторон вписанного четырёхугольника ABCD на противоположные стороны и из середин его диагоналей на противоположные диагонали, проходят через одну и ту же точку (точку Монжа).
Доказательство. Докажем, что точка Монжа совпадает с точкой $G$, симметричной центру $O$ описанной окружности относительно центра тяжести $S$ вершин $A, B, C, D$ ($S$ является общей серединой двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, и отрезка, соединяющего середины диагоналей четырёхугольника $ABCD$).
В самом деле, если $M_{AB}$ и $M_{CD}$ – середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно, то в четырёхугольнике $M_{AB}GM_{СВ}O$ диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, он – параллелограмм.
Так как $OM_{AB}\perp AB$ и $OM_{CD}\perp CD$, то $M_{CD}G\perp AB$ и $M_{AB}G\perp CD$, то есть два перпендикуляра из условия проходят через $G$. Аналогично через $G$ проходят остальные четыре перпендикуляра.
(Случаи, когда $O$ и $S$ совпадают, или какие-то из указанных параллелограммов вырождаются в отрезки, очевидны.)
Если в четырёхугольнике $ABCD$ есть пара параллельных сторон, то утверждение очевидно, так как в силу симметрии две из прямых будут срединными перпендикулярами к этим параллельным сторонам, то есть совпадут, а третья прямая будет им перпендикулярна. Поэтому далее считаем, что параллельных сторон нет.
Пусть Ω – описанная окружность четырёхугольника $ABCD$, $K$ – точка пересечения прямых $AB$ и $CD$. Тогда $K$ – радикальный центр окружностей Ω$_{AB}$, Ω$_{CD}$ и Ω. Радикальная ось $X_{1}Y_{1}$ окружностей Ω$_{AB}$ и Ω$_{CD}$ перпендикулярна их линии центров, то есть содержит высоту треугольника $M_{AB}KM_{CD}$. Значит, $X_{1}Y_{1}$ проходит через точку пересечения высот этого треугольника – точку Монжа $G$. Аналогично через эту точку проходят прямые $X_{2}Y_{2}$ и $X_{3}Y_{3}$.
Замечания
9 баллов
