Задача 66860
|
|
 |
Условие
Может ли в сечении какого-то тетраэдра двумя разными плоскостями получиться два квадрата: один – со стороной, не большей 1, а другой – со стороной, не меньшей 100?
Решение
Рассмотрим ромб $ABCD$ со стороной длины 200, в который можно вписать квадрат 1×1 со сторонами, параллельными диагоналям ромба (такой ромб, очевидно, существует). Построим прямую призму $ABCDA'B'C'D'$ с основанием $ABCD$, боковые грани которой – квадраты. Тетраэдр $AB'D'C$ по построению имеет в горизонтальном сечении квадрат 1×1. С другой стороны,
AB' || DC'$\perp CD'$ и $AB' = CD'$ > 200, поэтому сечение плоскостью, проходящей через середины четырёх рёбер и параллельной $AB'$ и $CD'$, – квадрат со стороной, равной 0,5 $AB'$ > 100.
Ответ
Может.
Замечания
8 баллов
