Задача 66870

Тема:    [ Многочлены (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Каждый из квадратных трёхчленов $P(x)$, $Q(x)$ и $P(x)+Q(x)$ с действительными коэффициентами имеет кратный корень. Обязательно ли все эти корни совпадают?

Решение

Первое решение. Предположим противное: $P(x)$ и $Q(x)$ имеют кратные корни $a$ и $b$ соответственно, $a\ne b$. Если ветви графиков $y=P(x)$ и $y=Q(x)$ направлены в одну сторону, то трёхчлен $P(x)+Q(x)$ не имеет корней (все его значения одного знака и ненулевые). Если ветви графиков $y=P(x)$ и $y=Q(x)$ направлены в разные стороны, то в точках $a$ и $b$ трёхчлен $P(x)+Q(x)$ принимает значения разных знаков, что невозможно для трёхчлена с кратным корнем. Противоречие.

Второе решение. Пусть $c$ и $d$ — кратные корни трёхчленов $P$ и $Q$ соответственно, $a$ и $b$ — cтаршие коэффициенты у $P$ и $Q$ соответственно. Тогда $P(x)+Q(x)=a(x-c)^2+b(x-d)^2$.

Имеем: $P(x)+Q(x)= (a+b) x^2-2(ac+bd)x+ac^2+bd^2$, и поскольку этот трёхчлен имеет кратный корень, его дискриминант равен нулю, то есть, $$0=(ac+bd)^2-(a+b)(ac^2+bd^2 )=2abcd-abd^2-bac^2= ab(c-d)^2,$$ откуда, так как $a$ и $b$ ненулевые, имеем $c=d$, и потому все три трёхчлена имеют кратный корень $c$.

Третье решение. Трёхчлен, имеющий кратный корень, с точностью до знака является полным квадратом. Без ограничения общности $P(x)=R^2(x)$. Рассмотрим два случая.

1) $Q(x) = S^2(x)$. Тогда $P(x) + Q(x) = R^2(x) + S^2(x)$ обращается в ноль только в точке, являющейся общий корнем $R(x)$ и $S(x)$, то есть общим корнем $P(x)$ и $Q(x)$.

2) $Q(x) = - S^2(x)$. Тогда трёхчлен $P(x) + Q(x) = (R(x) - S(x))(R(x) + S(x))$ имеет кратный корень, только когда корни линейных функций $R(x) -S(x)$ и $R(x) + S(x)$ совпадают. Но в такой точке $R(x) = S(x) = 0$.

Ответ

обязательно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Номер	42
Дата	2020/21
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	1