Задача 66871

Тема:    [ Вписанный угол (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

На прямой отметили точки $X_1, \ldots, X_{10}$ (именно в таком порядке) и построили на отрезках $X_1X_2$, $X_2X_3$, ..., $X_9X_{10}$ как на основаниях равнобедренные треугольники с углом $\alpha$ при вершинах. Оказалось, что все эти вершины лежат на полуокружности с диаметром $X_1X_{10}$. Найдите $\alpha$.

Решение

Пусть построены треугольники $X_1A_1X_2$, ..., $X_9A_9X_{10}$, а точки $B_1$, ..., $B_{9}$ симметричны точкам $A_1$, ..., $A_{9}$ соответственно (относительно прямой $X_1X_{10}$). Очевидно, точка $X_i$ лежит на хорде $B_{i-1}A_i$ и на хорде $B_{i}A_{i-1}$ ($i = 2,\ldots, 9$), поскольку при отражении возникают вертикальные углы (угол при основании равнобедренного треугольника и такой же угол отражённого соседнего треугольника). Поэтому $$\angle X_1B_1A_2 = \angle A_2B_3A_4 = \angle A_4B_5A_6 = \angle A_6B_7A_8 = \angle A_8B_9X_{10} = \alpha.$$ Следовательно, $5\alpha$ равно половине дуги ${X_1X_{10}}$, то есть $90^\circ$.

Ответ

$18^\circ$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Номер	42
Дата	2020/21
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	2