Задача 66936

Темы:    [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Богданов И.И.

Пусть $I$ – центр сферы, вписанной в тетраэдр $ABCD$, а $J$ – центр сферы, касающейся грани $BCD$ и плоскостей остальных граней (вне самих граней). Отрезок $IJ$ пересекает сферу, описанную около тетраэдра, в точке $K$. Что больше: $IK$ или $JK$?

Решение

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую $AIJ$ и перпендикулярную плоскости $BCD$. Она пересекает обе сферы по большим окружностям. Пусть касательные из $A$ к этим окружностям пересекают плоскость $BCD$ в точках $X$ и $Y$. Тогда $I$ и $J$ – центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника $AXY$, значит, середина отрезка $IJ$ лежит на дуге $XY$ описанной около этого треугольника окружности. Но точки $X$, $Y$ лежат внутри описанной около тетраэдра сферы, следовательно, дуга $XY$ также лежит внутри нее, и $IK > IJ/2 > JK$.

Ответ

$IK$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2020
Заочный тур
задача
Номер	24 [11 кл]