Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66939
Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Высоты AA1, CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H; B0 – середина стороны AC. Прямая, проходящая через вершину B параллельно AC, пересекает прямые B0A1, B0C1 в точках A, C соответственно. Докажите, что прямые AA, CC, BH пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть BB1 – высота из вершины B. По теореме Фалеса прямая AA делит отрезок BB1 в отношении BA:AB1, а прямая CC – в отношении BC:CB1 (см. рис.). Докажем. что эти отношения равны. Вновь применяя теорему Фалеса, получаем BA:CB0=BA1:A1C и BC:AB0=BC1:C1A. Так как AB0=CB0, искомое равенство можно переписать в виде AB1:B1C=(AC1:C1B)(BA1:A1C), что непосредственно следует из теоремы Чевы.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2021
Заочный тур
задача
Номер 3 [8 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .