Задача 66939

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Высоты $AA_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$; $B_0$ – середина стороны $AC$. Прямая, проходящая через вершину $B$ параллельно $AC$, пересекает прямые $B_0A_1$, $B_0C_1$ в точках $A'$, $C'$ соответственно. Докажите, что прямые $AA'$, $CC'$, $BH$ пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть $BB_1$ – высота из вершины $B$. По теореме Фалеса прямая $AA'$ делит отрезок $BB_1$ в отношении $BA':AB_1$, а прямая $CC'$ – в отношении $BC':CB_1$ (см. рис.). Докажем. что эти отношения равны. Вновь применяя теорему Фалеса, получаем $BA':CB_0=BA_1:A_1C$ и $BC':AB_0=BC_1:C_1A$. Так как $AB_0=CB_0$, искомое равенство можно переписать в виде $AB_1:B_1C=(AC_1:C_1B)\cdot (BA_1:A_1C)$, что непосредственно следует из теоремы Чевы.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2021
Заочный тур
задача
Номер	3 [8 кл]