Задача 66950

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Проективные преобразования плоскости ] [ Композиция преобразований плоскости ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Agarwal P.

Пусть $\gamma_A$, $\gamma_B$, $\gamma_C$ – вневписанные окружности треугольника $ABC$, касающиеся сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Обозначим через $l_A$ общую внешнюю касательную окружностей $\gamma_B$ и $\gamma_C$, отличную от $BC$. Аналогично определим $l_B$, $l_C$. Из точки $P$, лежащей на $l_A$, проведем отличную от $l_A$ касательную к $\gamma_B$ и найдем точку $X$ ее пересечения с $l_C$. Аналогично найдем точку $Y$ пересечения касательной из $P$ к $\gamma_C$ с $l_B$. Докажите, что прямая $XY$ касается $\gamma_A$.

Решение

Лемма. Пусть даны окружность $\omega$ и две касающиеся ее прямые $m$, $n$. Рассмотрим следующее отображение $f: m\to n$: для любой точки $P$ на $m$ $f(P)=Q$ – точка пересечения $n$ и второй касательной из $P$ к $\omega$. Тогда $f$ проективно.

Доказательство. Пусть $O$ – центр $\omega$. Тогда ориентированный угол между $OP$ и $OQ$ не зависит от $P$. Значит, для любых четырех точек $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$ на $m$ и $f(P_i)=Q_i$ поворот вокруг $O$ переводит прямые $OP_1$, $OP_2$, $OP_3$, $OP_4$ в $OQ_1$, $OQ_2$, $OQ_3$, $OQ_4$. Следовательно, двойные отношения $(P_1P_2P_3P_4)$ и $(Q_1Q_2Q_3Q_4)$ равны.

Вернемся к задаче. В соответствии с леммой определим отображение $f_A$ для окружности $\gamma_A$ из $l_B$ в $l_C$. Определим $f_B$ и $f_C$ циклически. Докажем, что композиция $f_A$, $f_B$ и $f_C$ Является тождественным преобразованием. По лемме достаточно убедиться, что для трех различных точек $P$ на $l_B$ $f_C(f_B(f_A(P)))=P$. Это, очевидно, так для точек пересечения сторон треугольника $ABC$ с $l_B$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2021
Заочный тур
задача
Номер	14 [9-11 кл]