Задача 66952

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Бибиков П.

Рассмотрим две окружности $\Omega$ и $\omega$, касающиеся друг друга внутренним образом в точке $A$. Пусть хорда $BC$ окружности $\Omega$ касается окружности $\omega$ в точке $K$. Пусть также $O$ – центр $\omega$. Тогда окружность $BOC$ делит отрезок $AK$ пополам.

Решение

Пусть $M$ – середина $AK$, а касательная к $\omega$ и $\Omega$ в точке $A$ пересекает $BC$ в точке $X$. Тогда $XA^2= XB\cdot XC$; также $XA^2=XM\cdot XO$ в силу подобия треугольников $XMA$ и $XAO$. Значит $XB\cdot XC=XM\cdot XO$, т.е. четырехугольник $BOMC$ – вписанный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2021
Заочный тур
задача
Номер	16 [9-11 кл]