Задача 66966

Темы:    [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Saghafian M.

Пусть $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ и $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ – две четверки точек, не лежащих на одной окружности. Известно, что для любых $i$, $j$, $k$ радиусы описанных окружностей треугольников $A_iA_jA_k$ и $B_iB_jB_k$ равны. Обязательно ли $A_iA_j=B_iB_j$ для любых $i$, $j$?

Решение

Пусть $A_1A_2A_3$, $B_1B_2B_3$ – два неравных треугольника, вписанных в окружности с равными радиусами $R$, а $A_4$, $B_4$ – их ортоцентры. Тогда у всех треугольников $A_iA_jA_k$ и $B_iB_jB_k$ радиусы описанных окружностей равны $R$, но не все равенства $A_iA_j=B_iB_j$ имеют место.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2021
класс
Класс	8
задача
Номер	8.5