|
|
 |
Условие
Биссектриса угла A треугольника ABC (AB>AC) пересекает описанную окружность в точке P. Перпендикуляр к AC в точке C пересекает биссектрису угла A в точке K. Окружность с центром в точке P и радиусом PK пересекает меньшую дугу PA описанной окружности в точке D. Докажите, что в четырехугольник ABDC можно вписать окружность.
Решение
Дуга AB, не содержащая C, больше дуги AC, не содержащей B, поскольку AB > AC по условию. Меньшая дуга BP равна меньшей дуге CP, поскольку AP – биссектриса. Следовательно, дуга ACP меньше 180^{\circ}, и точка K принадлежит хорде EC, где E – точка, диаметрально противоположная точке A. Из этого следует также, что PK < PC и, значит, точка D лежит на меньшей дуге PC.
Требуется доказать, что AB+DC=AC+BD.
Пусть окружность с центром в точке P и радиусом PD второй раз пересекает хорду DB в точке M. Опустим перпендикуляр PH из точки P на хорду BD. По лемме Архимеда точка H разбивает длину ломаной BDC на две равные части, то есть BH=HD+DC, но поскольку, очевидно, MH=HD, то BM=DC.
Рассмотрим точку N, симметричную точке C относительно биссектрисы AP. Тогда, во-первых, AC=AN, а, во-вторых, PC=PN, то есть точки C, N, B лежат на одной окружности с центром в P. Осталось доказать, что BN=DM.
Опустим перпендикуляр PL на хорду EC и перпендикуляр PR на хорду BA. Тогда BN=2BR=2PL=2DH=DM (см.рис.).
Второе равенство верно, поскольку треугольник PRB равен треугольнику CLP по гипотенузе и острому углу (\angle BPR=90^{\circ}-\angle PBA=\angle PCE= \angle PCL). Третье равенство верно, поскольку треугольник PLK равен треугольнику DHP по гипотенузе и острому углу (\angle LPK=\angle PAC=\angle PAB=\angle PDH).
