|
|
 |
Условие
В прямоугольном треугольнике $ABC$ $I$ – центр вписанной окружности, $M$ – середина гипотенузы $AB$. Касательная к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $C$ пересекает прямую, проходящую через $I$ и параллельную $AB$, в точке $P$. Точка $H$ – ортоцентр треугольника $PAB$. Докажите, что точка пересечения прямых $CH$ и $PM$ лежит на вписанной окружности треугольника $ABC$.Решение
Поскольку точки $A$, $B$, $H$, $P$ образуют ортоцентрическую четверку, $H$ лежит на поляре точки $P$ относительно окружности с диаметром $AB$, т.е. описанной окружности треугольника $ABC$. Очевидно, что $C$ также лежит на этой поляре, следовательно, $MP\perp CH$. Докажем, что $CH$ проходит через центр $Q$ гомотетии описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$.
Пусть $S$ – середина дуги $AB$ описанной окружности, $T$ – проекция $M$ на прямую $PI$, $T'$ – образ $T$ при инверсии относительно описанной окружности. Так как точки $T$ и $C$ лежат на окружности с диаметром $MP$, $T'$ лежит на образе этой окружности – прямой $CH$. Заметим, что точки $T'$, $C$, $Q$ лежат на прямых $MS$, $SI$, $MI$ соответственно, причем $\frac{T'M}{T'S}=\frac{R^2/r}{R^2/r+R}=\frac{R}{R+r}$, $\frac{CS}{CI}=\frac{R+r}{r}$ (поскольку $SI=SA=SB=R\sqrt{2}$), $\frac{QI}{QM}=\frac{r}{R}$. По теореме Менелая $Q$, $T'$, $C$ лежат на одной прямой.
Пусть теперь $F$ – точка Фейербаха треугольника $ABC$. Поскольку диаметром окружности девяти точек является отрезок $MC$, точки $C$, $Q$, $F$ являются попарными центрами гомотетий трех окружностей: девяти точек, описанной и вписанной. Следовательно, $F$ лежит на прямой $CH$, а поскольку $\angle CFM=90^{\circ}$, $F$ является точкой пересечения $CH$ и $MP$.
