|
|
 |
Условие
В строку записано 2020 натуральных чисел. Каждое из них, начиная с третьего, делится и на предыдущее, и на сумму двух предыдущих. Какое наименьшее значение может принимать последнее число в строке?Решение
Пример. Условию задачи, очевидно, удовлетворяют числа $1$, $1$, $2!$, $3!, \ldots, 2019!$, так как при любом натуральном $k$ число $(k+2)!$ делится как на $(k+1)!$, так и на $(k+1)!+k!=k!(k+2)$.
Оценка. Пусть $a,b,c$ – три подряд идущих числа в строке, но не первые три числа. Докажем, что $\frac{c}{b}\geqslant \frac{b}{a}+1$. По условию, $\frac{b}{a}=x$, $\frac{c}{b}=y$, где $x$ и $y$ натуральные. Тогда $c=by=axy$, причём $c$ делится на $b+a=ax+a=a(x+1)$. Получаем, что $axy$ делится на $a(x+1)$, откуда $xy$ делится на $x+1$, и так как $x$ и $x+1$ взаимно просты, $y$ делится на $x+1$, то есть $y\geqslant x+1$, что и требовалось.
Заметим, что первые два числа не меньше 1 каждое. Третье число больше второго (так как делится на сумму второго и первого), а значит, хотя бы в два раза больше второго (так как делится на него и не равно ему). По доказанному выше, четвёртое число тогда хотя бы в 3 раза больше третьего, пятое – хотя бы в 4 раза больше четвёртого, и так далее, откуда по индукции получаем, что $k$-е число не меньше, чем $(k-1)!$ при всех натуральных $k$.
