Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача
66994
(#1)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
В строку записано 2020 натуральных чисел. Каждое из них, начиная с третьего, делится и на предыдущее, и на сумму двух предыдущих.
Какое наименьшее значение может принимать последнее число в строке?
Задача
66995
(#2)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
На высотах AA_0, BB_0, CC_0 остроугольного неравностороннего треугольника ABC отметили соответственно точки A_1, B_1, C_1 так, что AA_1 = BB_1 = CC_1 = R, где R – радиус описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A_1B_1C_1 совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.
Задача
66996
(#3)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
На клетчатой плоскости отметили 40 клеток. Всегда ли найдётся клетчатый прямоугольник, содержащий ровно 20 отмеченных клеток?
Задача
66997
(#4)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Первая производная бесконечной последовательности a_1, a_2, ... – это последовательность a'_n = a_{n+1} - a_n (где n = 1, 2, ...), а её k-я производная – это первая производная её (k–1)-й производной
(k = 2, 3, ...). Назовём последовательность хорошей, если она и все её производные состоят из положительных чисел. Докажите, что если a_1, a_2, ... и b_1, b_2, ... – хорошие последовательности, то и a_1b_1, a_2b_2, ... – хорошая последовательность.
Задача
66998
(#5)
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
На сфере радиуса 1 дан треугольник, стороны которого – дуги трёх различных окружностей радиуса 1 с центром в центре сферы, имеющие длины меньше \pi, а площадь равна четверти площади сферы. Докажите, что четырьмя копиями такого треугольника можно покрыть всю сферу.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Фильтр
