Фильтр
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
В строку записано 2020 натуральных чисел. Каждое из них, начиная с третьего, делится и на предыдущее, и на сумму двух предыдущих. Какое наименьшее значение может принимать последнее число в строке?
На высотах $AA_0$, $BB_0$, $CC_0$ остроугольного неравностороннего треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ так, что
$AA_1=BB_1=CC_1=R$, где $R$ – радиус описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $A_1B_1C_1$ совпадает с центром вписанной окружности треугольника $ABC$.
На клетчатой плоскости отметили 40 клеток. Всегда ли найдётся клетчатый прямоугольник, содержащий ровно 20 отмеченных клеток?
Для бесконечной последовательности $a_1, a_2,\ldots$ её первая производная – это последовательность $a'_n = a_{n+1} - a_n$ (где $n=1,2,\ldots$), а её $k$-я производная – это первая производная её $(k-1)$-й производной ($k=2,3,\ldots$). Назовём последовательность хорошей, если она и все её производные состоят из положительных чисел. Докажите, что если $a_1, a_2, \ldots $ и $b_1, b_2, \ldots$ – хорошие последовательности, то и $a_1 \cdot b_1, a_2\cdot b_2, \ldots$ – хорошая последовательность.
На сфере радиуса 1 дан треугольник, стороны которого – дуги трёх различных окружностей радиуса 1 с центром в центре сферы, имеющие длины меньше $\pi$, а площадь равна четверти площади сферы. Докажите, что четырьмя копиями такого треугольника можно покрыть всю сферу.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 66994 (#1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 66995 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66996 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66997 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66998 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
