Условие
Для бесконечной последовательности $a_1, a_2,\ldots$ её
первая производная – это последовательность $a'_n = a_{n+1} - a_n$ (где $n=1,2,\ldots$), а её
$k$-я производная – это первая производная её $(k-1)$-й производной ($k=2,3,\ldots$). Назовём последовательность
хорошей, если она и все её производные состоят из положительных чисел. Докажите, что если $a_1, a_2, \ldots $ и $b_1, b_2, \ldots$ – хорошие последовательности, то и $a_1 \cdot b_1, a_2\cdot b_2, \ldots$ – хорошая последовательность.
Решение
Пусть $c_n=a_n\cdot b_n$. Тогда $c'_n= a_{n+1}\cdot b_{n+1}-a_n\cdot b_n = a_{n+1}\cdot (b_{n+1}-b_n)+b_n\cdot(a_{n+1}-a_n)=a_{n+1}\cdot b'_n + b_n\cdot a'_n$. Так как в сумме все слагаемые положительны, первая производная у $c_n$ (и у произведения любых двух хороших последовательностей) состоит из положительных чисел. Кроме того, мы представили $c'_n$ в виде суммы двух произведений хороших последовательностей. Далее по индукции, пользуясь тем, что производная суммы – это сумма производных и первая производная произведения хороших последовательностей положительна, получаем, что и все производные у $c_n$ состоят из положительных чисел.
Источники и прецеденты использования
