Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66997
Темы:    [ Последовательности (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Салимов Р.

Первая производная бесконечной последовательности a1,a2, ... – это последовательность  an=an+1an  (где  n = 1, 2, ...), а её k-я производная – это первая производная её (k–1)-й производной
(k = 2, 3, ...).  Назовём последовательность хорошей, если она и все её производные состоят из положительных чисел. Докажите, что если a1,a2, ... и b1,b2, ... – хорошие последовательности, то и a1b1,a2b2, ... – хорошая последовательность.


Решение

  Пусть  cn=anbn.  Тогда  cn=an+1bn+1anbn=an+1(bn+1bn)+bn(an+1an)=an+1bn+bnan.  Так как в сумме все слагаемые положительны, первая производная у cn (и у произведения любых двух хороших последовательностей) состоит из положительных чисел. Кроме того, мы представили cn в виде суммы двух произведений хороших последовательностей.
  Далее по индукции, пользуясь тем, что производная суммы – это сумма производных и первая производная произведения хороших последовательностей положительна, получаем, что и все производные у cn состоят из положительных чисел.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 41
Год 2019/20
тур
Вариант устный тур
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .