ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66997
Темы:    [ Последовательности (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Салимов Р.

Для бесконечной последовательности $a_1, a_2,\ldots$ её первая производная – это последовательность $a'_n = a_{n+1} - a_n$ (где $n=1,2,\ldots$), а её $k$-я производная – это первая производная её $(k-1)$-й производной ($k=2,3,\ldots$). Назовём последовательность хорошей, если она и все её производные состоят из положительных чисел. Докажите, что если $a_1, a_2, \ldots $ и $b_1, b_2, \ldots$ – хорошие последовательности, то и $a_1 \cdot b_1, a_2\cdot b_2, \ldots$ – хорошая последовательность.

Решение

Пусть $c_n=a_n\cdot b_n$. Тогда $c'_n= a_{n+1}\cdot b_{n+1}-a_n\cdot b_n = a_{n+1}\cdot (b_{n+1}-b_n)+b_n\cdot(a_{n+1}-a_n)=a_{n+1}\cdot b'_n + b_n\cdot a'_n$. Так как в сумме все слагаемые положительны, первая производная у $c_n$ (и у произведения любых двух хороших последовательностей) состоит из положительных чисел. Кроме того, мы представили $c'_n$ в виде суммы двух произведений хороших последовательностей. Далее по индукции, пользуясь тем, что производная суммы – это сумма производных и первая производная произведения хороших последовательностей положительна, получаем, что и все производные у $c_n$ состоят из положительных чисел.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 41
Год 2019/20
тур
Вариант устный тур
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .