Условие
Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.
Решение
Пусть $AM$, $AN$ – внутренняя и внешняя биссектрисы треугольника, а $T$ – точка пересечения $AM$ и $KL$. Тогда $KL$ проходит через $N$. Кроме того, непосредственный счет углов показывает, что прямые $AP$ и $KL$ образуют равные углы с $AM$ –
например, при $AB < AC$ имеем
$$\angle MAP=\angle MAB+\angle BAP=\angle CAM+\angle LKA=\angle LTA.$$
Поэтому надо доказать, что прямая, проходящая через $J$ и параллельная $KL$, пересекает $BC$ в той же точке, что и прямая, проходящая через середину $U$ отрезка $AJ$ и параллельная $AN$, то есть, что $MJ:JT=MU:UA$. А это равенство следует из того, что четверка $A, J, T, M$ гармоническая (то есть $MJ:MA=TJ:TA$).
Источники и прецеденты использования
