Условие
Верно ли, что из любого выпуклого четырехугольника можно вырезать три уменьшенные вдвое копии этого четырехугольника?
Решение
Докажем, что можно выбрать такой угол четырёхугольника, что сумма его с каждым из соседних углов не превосходит развёрнутого угла. Действительно, сумма каких-то двух соседних углов не превосходит $180^{\circ}$. Пусть это углы $A$ и $D$. Тогда, если $\angle A + \angle B \le 180^{\circ}$, то мы получили нужное, а если $\angle A+\angle B>180^{\circ}$, то $\angle C+ \angle D < 180^{\circ}$, и нам подходят углы $A,D,C$. В итоге можно так назвать вершины четырёхугольника $A,B,C,D$, что $\angle A+\angle B\le 180^{\circ}$, $\angle A+ \angle D\le 180^{\circ}$. Пусть $K$, $L$, $M$, $N$ – середины отрезков $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ соответственно, $P$, $Q$ – середины диагоналей
$AC$ и $BD$ соответственно. Четырёхугольники $AKPN$, $KBLQ$, $NQMD$ –
искомые копии. Докажем, что они не перекрываются. Действительно, $\angle AKP + \angle QKB=\angle A+\angle B\le 180^{\circ}$, $\angle DNQ+\angle ANP\le 180^{\circ}.$
Ответ
Да, верно.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
85 |
|
Год |
2022 |
|
класс |
|
Класс |
8 |
|
задача |
|
Номер |
5 |
