ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67016
Темы:    [ Четырехугольники (прочее) ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Юран А.Ю.

Верно ли, что из любого выпуклого четырехугольника можно вырезать три уменьшенные вдвое копии этого четырехугольника?

Решение

Докажем, что можно выбрать такой угол четырёхугольника, что сумма его с каждым из соседних углов не превосходит развёрнутого угла. Действительно, сумма каких-то двух соседних углов не превосходит $180^{\circ}$. Пусть это углы $A$ и $D$. Тогда, если $\angle A + \angle B \le 180^{\circ}$, то мы получили нужное, а если $\angle A+\angle B>180^{\circ}$, то $\angle C+ \angle D < 180^{\circ}$, и нам подходят углы $A,D,C$. В итоге можно так назвать вершины четырёхугольника $A,B,C,D$, что $\angle A+\angle B\le 180^{\circ}$, $\angle A+ \angle D\le 180^{\circ}$. Пусть $K$, $L$, $M$, $N$ – середины отрезков $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ соответственно, $P$, $Q$ – середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Четырёхугольники $AKPN$, $KBLQ$, $NQMD$ – искомые копии. Докажем, что они не перекрываются. Действительно, $\angle AKP + \angle QKB=\angle A+\angle B\le 180^{\circ}$, $\angle DNQ+\angle ANP\le 180^{\circ}.$


Ответ

Да, верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 85
Год 2022
класс
Класс 8
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .