Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
Из точки C, лежащей вне окружности с центром O, проведены два луча, пересекающие окружность: первый — в точках M и A, второй — в точках N и B. При этом точка N лежит между точками B и C. Углы MOA и NOB равны 120o. Перпендикуляр NL, опущенный из точки N на прямую AB, равен 12. Отрезок MN в 5 раз меньше отрезка AB. Найдите площадь треугольника MNC.
На окружности отметили n точек, разбивающие её на n дуг. Окружность повернули вокруг центра на угол 2πk/n (при некотором натуральном k), в результате чего отмеченные точки перешли в n новых точек, разбивающих окружность на n новых дуг.
Докажите, что найдётся новая дуга, которая целиком лежит в одной из старых дуг. (Считается, что концы дуги ей принадлежат.)
Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит гипотенузу в отношении 1 : 3. Найдите острые углы треугольника.
Для того, чтобы застеклить 15 окон различных размеров и форм, заготовлено 15 стекол в точности по окнам (окна такие, что в каждом окне должно быть одно стекло). Стекольщик, не зная, что стекла подобраны, работает так: он подходит к очередному окну и перебирает неиспользованные стекла до тех пор, пока не найдет достаточно большое (то есть либо в точности подходящее, либо такое, из которого можно вырезать подходящее), если же такого стекла нет, то переходит к следующему окну, и так, пока не обойдет все окна. Составлять стекло из нескольких частей нельзя. Какое максимальное число окон может остаться незастекленными?
Через центр O описанной окружности остроугольного треугольника ABC, проведена прямая, перпендикулярная BO и пересекающая отрезок AB в точке P и продолжение отрезка BC за точку C в точке Q. Найдите BP, если известно, что AB = c, BC = a и BQ = p.
Решить в целых числах уравнение x³ – 2y³ – 4z³ = 0.
В стране каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Доказать, что можно проехать по всем городам, побывав в каждом по одному разу (то есть что в полном ориентированном графе есть гамильтонов путь).
Дима придумал секретный шифр: каждая буква заменяется на слово длиной не больше 10 букв. Шифр называется хорошим, если всякое зашифрованное слово расшифровывается однозначно. Серёжа убедился (с помощью компьютера), что если зашифровать слово длиной не больше 10000 букв, то результат расшифровывается однозначно. Следует ли из этого, что шифр хороший? (В алфавите 33 буквы, под "словом" мы понимаем любую последовательность букв, независимо от того, имеет ли она смысл.)
Окружность с центром в точке O, лежит на гипотенузе AC
прямоугольного треугольника ABC, касается его катетов AB
и BC. Найдите AC, если известно, что
AM = ,
AN : MN = 6 : 1, где M — точка касания AB с окружностью,
а N — точка пересечения окружности с AC, расположенная
между точками A и O.
Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обязательно найдутся два, середина отрезка между которыми – тоже узел клетчатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников необходимо взять, чтобы среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми – тоже узел этой сетки?
|
|
 |
Условие
Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обязательно найдутся два, середина отрезка между которыми – тоже узел клетчатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников необходимо взять, чтобы среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми – тоже узел этой сетки?
Решение
Лемма. Среди любых пяти узлов сетки из правильных треугольников найдутся два, середина отрезка между которыми – тоже узел сетки.
Доказательство леммы. Введём начало отсчёта в одном из узлов сетки и обозначим за $\vec{a}$ и $\vec{b}$ радиус-векторы к двум ближайшим узлам, как на рисунке. Тогда узлы сетки суть точки вида $m\vec{a}+ n\vec{b}$ для целых $m$ и $n$. По принципу Дирихле из пяти точек найдутся две точки $m_1\vec{a}+ n_1\vec{b}$ и $m_2\vec{a}+ n_2\vec{b}$, у которых одновременно совпадает чётность $m_1$ и $m_2$ и чётность $n_1$ и $n_2$. Середина отрезка, соединяющего эти две точки, есть точка $\frac{m_1+m_2}2\mkern2mu \vec{a}+ \frac{n_1+n_2}2 \mkern2mu\vec{b}$. Она является узлом сетки, так как числа $\frac{m_1+m_2}2$ и $\frac{n_1+n_2}2$ являются целыми в силу одинаковой чётности $m_1$ и $m_2$, $n_1$ и $n_2$.
Решение. На рисунке слева можно увидеть пример расположения 8 узлов сетки, среди которых нет двух, середина отрезка между которыми – узел сетки. Докажем, что девяти узлов достаточно. Заметим, что шестиугольная сетка разбивается в объединение двух треугольных (см. рисунок справа). По принципу Дирихле среди любых девяти узлов по крайней мере пять окажутся в одной из этих двух треугольных сеток. По лемме среди этих пяти узлов найдутся два искомых.
Ответ
9.
