ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67038
Тема:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Турнир Городов проводится раз в год. Сейчас год проведения осеннего тура делится на номер турнира: 2021:43 = 47. Сколько ещё раз человечество сможет наблюдать это удивительное явление?

Решение

Так как сейчас 43-й Турнир, то осенний тур n-го Турнира проходит в году 46·43 + n. Число 46·43 + n делится на n тогда и только тогда, когда 46·43=2·23·43 делится на n. У числа 2·23·43 есть 4 делителя, больших чем 43 — это 2·23, 2·43, 23·43 и 2·23·43.

Номер турнира N на 2021-43=1978 меньше номера года M, и так будет всегда. Поэтому M:N=1+1978:N. Таким образом, требуется, чтобы число 1978 нацело делилось на номер очередного Турнира. Но 1978=43·23·2, то есть оно делится (из чисел, больших 43) на 46, 86, 989 и на само себя. Поэтому ответ: ещё 4 раза, в 2024, 2064, 2967 и 3956 годах.

Ответ

еще 4 раза.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
год/номер
Номер 43
Дата 2021/22
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .