Задача 67063

Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Признаки делимости на 5 и 10 ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10

Условие

Автор: Дориченко С.А.

Петя взял произвольное натуральное число, умножил его на 5, результат снова умножил на 5, потом ещё на 5, и так далее.
Верно ли, что с какого-то момента все получающиеся у Пети числа будут содержать 5 в своей десятичной записи?

Решение

Запишем исходное число в виде $2^km$, где $m$ нечётно. После  $k + 1$  умножения на 5 получится число, оканчивающееся на $k$ нулей, перед которыми стоит пятёрка, и она сохранится при дальнейших умножениях.

Ответ

Верно.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Номер	43
Дата	2021/22
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер	2