ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67067
Темы:    [ Признаки делимости на 5 и 10 ]
[ Инварианты ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Натуральное число умножили на 5, результат снова умножили на 5 и так далее, всего сделали $k$ умножений. Оказалось, что в десятичной записи исходного числа и полученных $k$ чисел нет
цифры 7. Докажите, что существует натуральное число, которое можно $k$ раз умножить на 2, и снова ни в одном числе не будет цифры 7 в его десятичной записи.


Решение

Пусть исходное число равно $n$. В качестве искомого числа годится $5^kn$. Действительно, последовательно умножая его на двойки, получим числа  $5^{k−1}\cdot10n$,  $5^{k−2}\cdot10^2n$,  ...,  $10^kn$, которые отличаются от чисел 5k–1$n$, 5k–2$n$, ..., $n$ только наличием нескольких нулей в конце и поэтому не содержат семёрок.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
год/номер
Номер 43
Дата 2021/22
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .