Задача 67067
|
|
 |
Условие
Натуральное число умножили на 5, результат снова умножили на 5 и так далее, всего сделали $k$ умножений. Оказалось, что в десятичной записи исходного числа и полученных $k$ чисел нет
цифры 7. Докажите, что существует натуральное число, которое можно $k$ раз умножить на 2, и снова ни в одном числе не будет цифры 7 в его десятичной записи.
Решение
Пусть исходное число равно $n$. В качестве искомого числа годится $5^kn$. Действительно, последовательно умножая его на двойки, получим числа $5^{k−1}\cdot10n$, $5^{k−2}\cdot10^2n$, ..., $10^kn$, которые отличаются от чисел 5k–1$n$, 5k–2$n$, ..., $n$ только наличием нескольких нулей в конце и поэтому не содержат семёрок.
Замечания
4 балла
