|
|
 |
Условие
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность ω с центром в точке $O$. Описанная окружность Ω треугольника $AOC$ пересекает вторично прямые $AB, BC, CD$ и $DA$ в точках $M, N, K$ и $L$ соответственно. Докажите, что прямые $MN, KL$ и касательные, проведённые к ω в точках $A$ и $C$, касаются одной окружности.
Решение
Пусть касательные к ω в точках $A$ и $C$ пересекаются в точке $P$, которая, очевидно, лежит на окружности Ω. Так как $PA$ – касательная, то ∠($PA, AB$) = ∠($AC, CB$), то есть
∠($PA, AM$) = ∠($AC, CN$). Значит, ориентированные дуги $PM$ и $AN$ равны, откуда равны хорды $PA$ и $MN$. Аналогично $PA = KL$. Равенство $PA = PC$ очевидно. Следовательно, хорды $MN, KL, PA$ и $PC$ равноудалены от центра окружности Ω, что и требовалось.
Замечания
1. Приведённое решение не требует разбора различных вариантов расположения точек на окружностях. При более традиционном решении даже при оговорке, что достаточно рассматривать случай, когда точка B лежит на большей дуге $AC$ (рис. 1), что позволяет избежать рассмотрения различных вариантов расположения точек $D$, $K$ и $L$ (рис. 2), придётся рассматривать как минимум три варианта расположения точки $B$:
1) точки $M$ и $N$ лежат на дуге $APC$ (рис. 3);
2) точки $M$ и $N$ лежат на дуге $AOC$ (рис. 4);
3) одна из точек $M$, $N$ лежит на дуге $AOC$, а другая – нет (рис. 5).
2. 6 баллов.
