Задача 67080

Темы:    [ Построения (прочее) ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

В прямоугольной системе координат (с одинаковым масштабом по осям $x$ и $y$) нарисовали график функции  $y = f(x)$.  Затем ось ординат и все отметки на оси абсцисс стёрли. Предложите способ, как с помощью карандаша, циркуля и линейки восстановить ось ординат, если
  а)  $f(x) = 3^x$;
  б)  $f(x)$ = log_ax,  где  $a$ > 1  – неизвестное число.

Решение

  а) См. задачу 67029.

  б) Пусть график  $y$ = log_ax  пересекает ось абсцисс в точке $A$. Проведём в верхней полуплоскости прямые $l$ и $m$, параллельные оси абсцисс, так, чтобы расстояние между $l$ и $m$ равнялось расстоянию от $l$ до оси абсцисс. Пусть  $B(x, 0)$  и  $C(x^2, 0)$  – проекции на ось абсцисс точек пересечения этих прямых с графиком. Достаточно построить начало координат.
  Способ 1. Тогда  $AB = x$ – 1, $BC = x^2$ – $x$, $BC - AB = x^2 - 2x$ + 1 = ($x$ – 1)²,  поэтому можно построить отрезок длины  $\frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)^2}$ = 1.  Отложив его "влево" от точки $A$, получим начало координат.

  Способ 2. Пусть $O$ – начало координат, $F$ и $D$ – точки на графике, находящиеся над $B$ и $C$ соответственно, $E$ – точка пересечения прямых $OD$ и $BF$. Тогда  $OE : OD = OB : OC = x : x^2 = 1 : x = OA : OB,$  т.е. прямые $AE$ и $BD$ параллельны.

  Отсюда построение: строим точку $E$ пересечения прямой, проходящей через $A$ параллельно $BD$, c прямой $BF$, а далее точку $O$ пересечения прямой $ED$ и оси абсцисс. Ось ординат – вертикаль, проходящая через $O$ (прямую $DC$ строить не нужно).

Замечания

баллы: 4 + 4

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Номер	43
Дата	2021/22
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	2