|
|
 |
Условие
В прямоугольной системе координат (с одинаковым масштабом по осям $x$ и $y$) нарисовали график функции $y = f(x)$. Затем ось ординат и все отметки на оси абсцисс стёрли. Предложите способ, как с помощью карандаша, циркуля и линейки восстановить ось ординат, если
а) $f(x) = 3^x$;
б) $f(x)$ = logax, где $a$ > 1 – неизвестное число.
Решение
а) См. задачу 67029.
б) Пусть график $y$ = logax пересекает ось абсцисс в точке $A$. Проведём в верхней полуплоскости прямые $l$ и $m$, параллельные оси абсцисс, так, чтобы расстояние между $l$ и $m$ равнялось расстоянию от $l$ до оси абсцисс. Пусть $B(x, 0)$ и $C(x^2, 0)$ – проекции на ось абсцисс точек пересечения этих прямых с графиком. Достаточно построить начало координат.
Способ 1. Тогда $AB = x$ – 1, $BC = x^2$ – $x$, $BC - AB = x^2 - 2x$ + 1 = ($x$ – 1)², поэтому можно построить отрезок длины $\frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)^2}$ = 1. Отложив его "влево" от точки $A$, получим начало координат.
Способ 2. Пусть $O$ – начало координат, $F$ и $D$ – точки на графике, находящиеся над $B$ и $C$ соответственно, $E$ – точка пересечения прямых $OD$ и $BF$. Тогда $OE : OD = OB : OC = x : x^2 = 1 : x = OA : OB,$ т.е. прямые $AE$ и $BD$ параллельны.
Отсюда построение: строим точку $E$ пересечения прямой, проходящей через $A$ параллельно $BD$, c прямой $BF$, а далее точку $O$ пересечения прямой $ED$ и оси абсцисс. Ось ординат – вертикаль, проходящая через $O$ (прямую $DC$ строить не нужно).
Замечания
баллы: 4 + 4
