Задача 67091

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Ивлев Ф.

Вписанная и вневписанная окружности треугольника $ABC$ касаются отрезка $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Прямые $BP$ и $BQ$ вторично пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $P'$ и $Q'$ соответственно. Докажите, что $PP' > QQ'$.

Решение

Так как $CP=AQ$, то $BP\cdot PP'=AP\cdot PC=BQ\cdot QQ'$. Но, поскольку $|AP-CP| = |AB-CB| < |(AB^2-CB^2)/AC|,$ точка $P$ лежит между серединой стороны $AC$ и основанием опущенной на эту сторону высоты. Следовательно, $BP < BQ$ и $PP' > QQ'$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
Заочный тур
задача
Номер	6 [8-9 кл]