Условие
Стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырехугольника $ABCD$ касаются окружности с центром $I$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. На прямой $AI$ выбрана произвольная точка $P$. Прямая $PK$ пересекает прямую $BI$ в точке $Q$. Прямая $QL$ пересекает прямую $CI$ в точке $R$. Прямая $RM$ пересекает прямую $DI$ в точке $S$. Докажите, что точки $P$, $N$ и $S$ лежат на одной прямой.
Решение
По теореме Менелая $\frac{BQ}{QI} \cdot \frac{IP}{PA} \cdot \frac{AK}{KB}=1$. Аналогично $\frac{CR}{RI} \cdot \frac{IQ}{QB} \cdot \frac{BL}{LC}=1$ и $\frac{DS}{SI} \cdot \frac{IR}{RC} \cdot \frac{CM}{MD}=1$. Перемножая эти равенства с учетом равенств $AK=AN$, $BK=BL$, $CL=CM$, $DM=DN$, получаем $\frac{IS}{SD} \cdot \frac{DN}{NA} \cdot \frac{AP}{PI}=1$, что равносильно утверждению задачи.
Замечания
Утверждение останется верным при замене точки $I$ произвольной точкой плоскости.
Источники и прецеденты использования
