|
|
 |
Условие
На плоскости даны восемь точек общего положения. В ряд выписали площади всех 56 треугольников с вершинами в этих точках. Докажите, что между выписанными числами можно поставить знаки «+» и «−» так, чтобы полученное выражение равнялось нулю.
Решение
Заметим, что утверждение задачи верно для любых четырех точек. Действительно, если точки образуют выпуклый четырехугольник ABCD, то SABC+SACD−SBCD−SABD=0. Если же точка D лежит внутри треугольника ABC, то SABC−SABD−SACD−SBCD=0.
Поставим теперь в соответствие данным точкам вершины куба ABCDA′B′C′D′ и рассмотрим следующие 14 четверок его вершин: шесть граней куба, шесть сечений, проходящих через противоположные ребра, и два вписанных в куб тетраэдра AB′CD′, A′BC′D. Любые две из этих четверок имеют не больше двух точек, значит, каждый из 56 треугольников входит ровно в одну четверку. Поэтому, расставив знаки для каждой четверки, мы получим искомую расстановку.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
| год | |
| Год | 2022 |
| Заочный тур | |
| задача | |
| Номер | 13 [8-11 кл] |
