Условие
Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Пусть $E=AC\cap BD$, $F=AD\cap BC$.
Биссектрисы углов $AFB$ и $AEB$ пересекают $CD$ в точках $X, Y$.
Докажите, что точки $A, B, X, Y$ лежат на одной окружности.
Решение
Пусть $U$ – точка пересечения $AB$ и $CD$ (см. рис.). Тогда $\frac{DY}{YC} = \frac{DE}{EC} = \frac{AD}{BC} = \frac{UD}{UB}$ (второе равенство следует из подобия треугольников $EAD$ и $EBC$, третье – из подобия $UDA$ и $UBC$). Следовательно,
$$UY = UD + UD \cdot \frac{CD}{UD+UB} = UD \cdot \frac{UC+UB}{UD+UB}.$$ Аналогично получаем, что $UX = UC \cdot \frac{UD+UB}{UC+UB}$. Значит $UX \cdot UY = UC \cdot UD = UA \cdot UB$. При других расположениях точек рассуждение аналогично.
Источники и прецеденты использования
