Задача 67101

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Авторы: Плотников М., Хилько Д., Кожевников П.А.

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Пусть $E=AC\cap BD$, $F=AD\cap BC$. Биссектрисы углов $AFB$ и $AEB$ пересекают $CD$ в точках $X, Y$. Докажите, что точки $A, B, X, Y$ лежат на одной окружности.

Решение

Пусть $U$ – точка пересечения $AB$ и $CD$ (см. рис.). Тогда $\frac{DY}{YC} = \frac{DE}{EC} = \frac{AD}{BC} = \frac{UD}{UB}$ (второе равенство следует из подобия треугольников $EAD$ и $EBC$, третье – из подобия $UDA$ и $UBC$). Следовательно, $$UY = UD + UD \cdot \frac{CD}{UD+UB} = UD \cdot \frac{UC+UB}{UD+UB}.$$ Аналогично получаем, что $UX = UC \cdot \frac{UD+UB}{UC+UB}$. Значит $UX \cdot UY = UC \cdot UD = UA \cdot UB$. При других расположениях точек рассуждение аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
Заочный тур
задача
Номер	16 [9-11 кл]