Задача 67102

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Изогональное сопряжение ] [ Теорема Паскаля ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Кухарчук И.

В треугольнике $ABC$ выбрана точка $P$. Лучи с началом в точке $P$, пересекающие под прямым углом стороны $BC$, $AC$, $AB$, пересекают описанную окружность в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Оказалось, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке $Q$. Докажите, что все такие прямые $PQ$ пересекаются в одной точке.

Решение

Рассмотрим точку $R$, изогонально сопряженную точке $Q$. Пусть прямые $AR$, $BR$, $CR$ пересекают описанную окружность в точках $A_2$, $B_2$, $C_2$. Пусть также прямые $A_1P$, $B_1P$, $C_1P$ пересекают описанную окружность в точках $A_3$, $B_3$, $C_3$. Наконец, пускай $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. Прямая $QR$ проходит через точку $X$ пересечения прямых $B_1A_2$ и $A_1B_2$ (теорема Паскаля для $BB_2A_1AA_2B_1$). Аналогично она проходит через точку $Y$ пересечения прямых $B_1C_2$ и $C_1B_2$.Следовательно, прямые $XY$ и $QR$ совпадают.

Прямая $PO$ проходит через $X$ (теорема Паскаля для $B_3B_1A_2A_3A_1B_2$ и то, что $A_3A_2$ – диаметр из симметрии относительно серединного перпендикуляра к стороне $BC$ точек $A_1$ и $A_2$), аналогично $PO$ проходит через $Y$. Откуда $PO$ совпадает с $XY$, а значит и с $QR$. Следовательно все такие прямые $PQ$ проходят через $O$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
Заочный тур
задача
Номер	17 [9-11 кл]