Условие
Во вписанно-описанном четырехугольнике отметили центры $O$, $I$ описанной и вписанной окружностей и середину $M$ одной из диагоналей, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его.
Решение
Точка $L$ пересечения диагоналей четырехугольника лежит на прямой $OI$. Кроме того, $OM\perp ML$, что позволяет построить точку $L$. Пусть теперь $AB$ – диаметр описанной окружности, проходящий через $I$, а $C$ – точка описанной окружности такая, что $CL\perp AB$. Тогда $CO$, $CI$, $CL$ – медиана, биссектриса и высота прямоугольного треугольника $ABC$, Следовательно, $CI$ – биссектриса угла $OCL$. Это позволяет построить точку $C$ как пересечение перпендикуляра из $L$ к $OI$ и окружности Аполлония для точек $O$ и $L$, а значит, и описанную окружность. Наконец, заметим, что середина $N$ второй диагонали лежит на прямой $MI$ и окружности с диаметром $OL$, что позволяет построить вершины четырехугольника.
Источники и прецеденты использования
