Задача 67112
|
|
 |
Условие
Даны окружность $\omega$ и не лежащая на ней точка $P$. Пусть $ABC$ – произвольный правильный треугольник, вписанный в $\omega$, а точки $A'$, $B'$, $C'$ – проекции $P$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$. Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников $A'B'C'$.Решение
Проведем через $O$ прямые $a$, $b$, $c$, параллельные соответственно $BC$, $CA$, $AB$, и опустим на них перпендикуляры $PA''$, $PB''$, $PC''$. Заметим, что точки $A''$, $B''$, $C''$ лежат на окружности с диаметром $OP$ и $\angle A''C''B''=\angle A''PB''=60^{\circ}$ (см. рис.). Следовательно, треугольник $A''B''C''$ равносторонний и его центр тяжести совпадает с серединой $OP$. Центр тяжести треугольника $A'B'C'$ находится в той же точке, потому что сумма векторов $\overrightarrow{A'A''}+\overrightarrow{B'B''}+\overrightarrow{C'C''}=\overrightarrow{0}$.
