Задача 67120

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Марданов А.

Средняя линия, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает его описанную окружность в точках $X$ и $Y$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а $D$ – середина дуги $AC$, не содержащей точку $B$. На отрезке $DI$ отметили точку $L$ такую, что $DL=BI/2$. Докажите, что из точек $X$ и $Y$ отрезок $IL$ виден под равными углами.

Решение

Отразив $X$ относительно биссектрисы угла $B$, получим точку $X'$ на луче $BY$. Надо доказать, что четырехугольник $ILYX'$ – вписанный, т.е., что $BI\cdot BL=BX\cdot BY$. Заметим, что $L$ – середина $BI_B$, где $I_B$ – центр вневписанной окружности. Тогда нужно доказать, что $2BX\cdot BY=BI\cdot BI_B=AB\cdot BC$. Пусть $X''$ – точка пересечения $AC$ и $BX$. Тогда треугольники $X''BA$ и $CBY$ подобны, поскольку $\angle BX''A=\angle BXY=\angle BCY$ и $\angle XBA=\angle CBY$, откуда получаем искомое равенство.

Замечания

Равенство $BI\cdot BL=BX\cdot BY$ можно также получить, применив композицию инверсии с центром $B$ и симметрии относительно биссектрисы угла $ABC$, меняющей $X$ и $Y$ местами.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
класс
Класс	9
задача
Номер	9.3