ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67123
Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ ($AD > BC$) пересекаются в точке $P$. На отрезке $AD$ нашлась такая точка $Q$, что $BQ=CQ$. Докажите, что линия центров окружностей, описанных около треугольников $AQC$ и $BQD$, перпендикулярна прямой $PQ$.

Решение

Пусть окружность $AQC$ вторично пересекает прямую $AP$ в точке $X$, а окружность $BQD$ вторично пересекает прямую $DP$ в точке $Y$. Тогда $\angle AXC=\angle CQD=\angle BQA=\angle BYD$. Следовательно, точки $B$, $C$, $X$, $Y$ (а значит, и $A$, $D$, $X$, $Y$) лежат на одной окружности, т.е. $PX:PY=PC:PB=PD:PA$ и $PQ$ – радикальная ось окружностей $AQC$ и $BQD$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2022
класс
Класс 9
задача
Номер 9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .