Задача 67128

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Челноков Г.Р.

Прямая пересекает отрезок $AB$ в точке $C$. Какое максимальное число точек $X$ может найтись на этой прямой так, чтобы один из углов $AXC$ и $BXC$ был в два раза больше другого?

Решение

Оценка. Обозначим через $\ell$ прямую из условия (пересекающую отрезок $AB$ в точке $C$). Покажем, что на прямой $\ell$ не может быть больше двух точек, для которых $\angle BXC=2\angle AXC$.

Пусть точка $F$ симметрична $A$ относительно $\ell$. Тогда $XF$ – биссектриса угла $BXC$. Построим окружность с центром $F$, касающуюся $\ell$. Прямая $XB$ также касается этой окружности, откуда и следует нужное утверждение.

Пример. Рассмотрим треугольник $X_1AB$, в котором медиана $X_1C$ образует со сторонами углы $\angle AX_1C=40^{\circ}$, $\angle BX_1C=80^{\circ}$. Пусть $X_2$ – такая точка на отрезке $X_1C$, что $\angle X_1BX_2=20^{\circ}$. Покажем, что $\angle X_1AX_2=10^{\circ}$. Тогда $X_1$, $X_2$ и точки, симметричные им относительно $C$, образуют искомую четверку.

Опустим перпендикуляры $AK$, $BH$ на прямую $X_1X_2$. Покажем, что $KA^2=KX_1\cdot KX_2$. Так как треугольники $AKC$ и $BHC$ равны, это равносильно легко проверяемому равенству $$(AX_1\sin 40^{\circ})^2=AX_1\cos 40^{\circ}(AX_1\cos 40^{\circ}-2AX_1\sin 40^{\circ}\operatorname{tg} 10^{\circ}).$$ Из доказанного равенства следует, что окружность $AX_1X_2$ касается прямой $AK$, т.е. $\angle X_2AK=\angle AX_1K=40^{\circ}$, $\angle X_1AX_2=10^{\circ}$, $\angle AX_2C=50^{\circ}$ и $\angle BX_2C=100^{\circ}$.

Ответ

4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
класс
Класс	10
задача
Номер	10.3