ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67129
Темы:    [ Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха ]
[ Теорема Птолемея ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Выпуклый четырехугольник $ABCD$ таков, что $\angle B=\angle D$. Докажите, что середина диагонали $BD$ лежит на общей внутренней касательной к окружностям, вписанным в треугольники $ABC$ и $ACD$.

Решение

Пусть $M$, $N$ $C_1$, $A_1$ – середины $AC$, $BD$, $AB$, $BC$ соответственно. Так как $\angle A_1NC_1=\angle D=\angle B=\angle A_1MC_1$, точка $N$ лежит на окружности $A_1MC_1$, которая по теореме Фейербаха касается вписанной в треугольник $ABC$ окружности $\omega_1$. Поэтому, применяя к точкам $A_1$, $C_1$, $N$ и $\omega_1$ теорему Кези, можно найти длину $x$ касательной из $N$ к $\omega_1$. Например, для конфигурации на рисунке имеем $$ x\frac{AC}2=\frac{CD}2\cdot\frac{AC-BC}2+\frac{AD}2\cdot\frac{AB-AC}2. $$

Аналогично для длины $y$ касательной из $N$ к вписанной в треугольник $ACD$ окружности $\omega_2$ имеем $$ y\frac{AC}2=\frac{AB}2\cdot\frac{CD-AC}2+\frac{BC}2\cdot\frac{AC-AD}2. $$ Складывая эти равенства, получаем, что $x+y=(AB+CD-AD-BC)/2$, что равно длине общей внутренней касательной к $\omega_1$ и $\omega_2$, следовательно, точка $N$ лежит на такой касательной. Для других конфигураций решение аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2022
класс
Класс 10
задача
Номер 10.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .