ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 67129

Темы:   [ Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха ]
[ Теорема Птолемея ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Выпуклый четырехугольник $ABCD$ таков, что $\angle B=\angle D$. Докажите, что середина диагонали $BD$ лежит на общей внутренней касательной к окружностям, вписанным в треугольники $ABC$ и $ACD$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 116090

Темы:   [ Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что окружность, проходящая через середины трёх сторон треугольника, касается его вписанной и трёх вневписанных окружностей (теорема Фейербаха).
Прислать комментарий     Решение


Задача 58348

 [Теорема Фейербаха]
Темы:   [ Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 7
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что окружность, проходящая через середины сторон треугольника, касается его вписанной и трех вневписанных окружностей (Фейербах).
б) На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки C1 и B1 так, что AC1 = B1C1 и вписанная окружность S треугольника ABC является вневписанной окружностью треугольника AB1C1. Докажите, что вписанная окружность треугольника AB1C1 касается окружности, проходящей через середины сторон треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58356

Темы:   [ Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 7+
Классы: 9,10,11

Окружности S1, S2,..., Sn касаются двух окружностей R1 и R2 и, кроме того, S1 касается S2 в точке A1, S2 касается S3 в точке A2..., Sn - 1 касается Sn в точке An - 1. Докажите, что точки A1, A2,..., An - 1 лежат на одной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58357

Темы:   [ Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 7+
Классы: 9,10,11

Докажите, что если существует цепочка окружностей S1, S2,..., Sn, каждая из которых касается двух соседних (Sn касается Sn - 1 и S1) и двух данных непересекающихся окружностей R1 и R2, то таких цепочек бесконечно много. А именно, для любой окружности T1, касающейся R1 и R2 (одинаковым образом, если R1 и R2 не лежат одна в другой, внешним и внутренним образом в противном случае), существует аналогичная цепочка из n касающихся окружностей T1, T2,..., Tn (поризм Штейнера).
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .