|
|
 |
Условие
На сторонах правильного девятиугольника $ABCDEFGHI$ во внешнюю сторону построили треугольники $XAB$, $YBC$, $ZCD$ и $TDE$. Известно, что углы $X$, $Y$, $Z$, $T$ этих треугольников равны $20^{\circ}$ каждый, а среди углов $XAB$, $YBC$, $ZCD$ и $TDE$ каждый следующий на $20^{\circ}$ больше предыдущего. Докажите, что точки $X$, $Y$, $Z$, $T$ лежат на одной окружности.Решение
Решение 1. Отразив точку $X$ относительно середины $AB$, получим точку $K$, лежащую на большей дуге $AС$ описанной окружности девятиугольника (вписанный угол, опирающийся на хорду $AB$, равен $20^{\circ}$, а $\angle KBA = \angle XAB= \angle YBC - 20^{\circ} < 160^{\circ} - 20^{\circ} = \angle CBA)$. Далее, $\angle KCB = \angle KCA+ \angle ACB = \angle KBA + 20^{\circ} = \angle XAB + 20^{\circ} = \angle YBC$.
Значит, треугольники $KCB$ и $YBC$ равны по углам и стороне. Поэтому точка $Y$ симметрична точке $K$ относительно середины $BC$. Аналогично точки $Z$ и $T$ симметричны точке $K$ относительно середин $CD$ и $DE$ соответственно. Следовательно, точки $X$, $Y$, $Z$, $T$ лежат на окружности, получающейся из окружности, проходящей через середины сторон девятиугольника гомотетией с центром $K$ и коэффициентом 2.
Решение 2 (идея). Пусть $O$ – центр девятиугольника, $O_X, O_Y, O_Z, O_T$ – центры описанных окружностей $\Omega_X$, $\Omega_Y$, $\Omega_Z$, $\Omega_T$ треугольников $XAB$, $YBC$, $ZCD$, $TDE$ соответственно. Указанные описанные окружности равны в силу равенства хорд $AB$, $BC$, $CD$ и $DE$ и опирающихся на них вписанных углов, поэтому точки $O_X$, $O_Y$, $O_Z$, $O_T$ лежат на окружности $\Omega$ с центром $O$.
При повороте вокруг $O$ на $360^{\circ}:9 = 40^{\circ}$ по часовой стрелке, $\Omega_X$ переходит в $\Omega_Y$, а треугольник $XAB$ – в треугольник $X'BC$, вписанный в $\Omega_Y$. По условию, $\angle YBX' = 20^{\circ}$, откуда $\angle YO_YX' = 40^{\circ}$. Таким образом, вектор $\overrightarrow{O_XX}$ переходит в $\overrightarrow{O_YY}$ при композиции двух поворотов вокруг $O$ на $40^{\circ}$ в разных направлениях. Следовательно, $\overrightarrow{O_YY} = \overrightarrow{O_XX}$. Аналогично, $\overrightarrow{O_TT}=\overrightarrow{O_ZZ}=\overrightarrow{O_YY}$. Значит, точки $X$, $Y$, $Z$, $T$ лежат на окружности, получающейся из $\Omega$ сдвигом на вектор $\overrightarrow{O_XX}$.
