Задача 67165
|
|
 |
Условие
У N друзей есть круглая пицца. Разрешается провести не более 100 прямолинейных разрезов, не перекладывая части до окончания разрезаний, после чего распределить все получившиеся кусочки между всеми друзьями так, чтобы каждый получил суммарно одну и ту же долю пиццы по площади. Найдутся ли такие разрезания, если а) N = 201; б) N = 400?Решение
а) Пусть площадь пиццы равна 201. Тогда площадь вписанного в неё квадрата равна $\frac{402}{\pi} > 121$. Нарисуем внутри пиццы квадрат со стороной 11 так, чтобы центры квадрата и пиццы совпали. Проведя по 12 разрезов, параллельных сторонам квадрата, получим 121 кусок 1×1. Мысленно склеим куски пиццы вне квадрата и разобьём эту фигуру 40 разрезами через центр на 80 равновеликих кусков (в силу непрерывности это можно сделать, вращая диаметр). Всего хватило 64 разреза.
б) Пусть площадь пиццы равна 400. Тогда площадь вписанного правильного шестиугольника равна $\frac{600\sqrt{3}}{\pi} > 294$. Нарисуем внутри пиццы правильный шестиугольник площади 294 так, чтобы его центр и центр пиццы совпали. Отметим вершины и точки на сторонах шестиугольника так, чтобы каждая сторона разбилась на 7 равных частей. Если провести разрезы, параллельные сторонам шестиугольника через все отмеченные точки (всего таких разрезов 3⋅15 = 45), разобьём шестиугольник на 6⋅7² = 294 равных правильных треугольника площади 1. Мысленно склеим куски пиццы вне шестиугольника и разобьём эту фигуру 53 разрезами через центр на 106 равновеликих кусков. Всего хватило 98 разрезов.
