ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67165
Темы:    [ Разрезания (прочее) ]
[ Площадь (прочее) ]
[ Правильные многоугольники ]
Сложность: 5
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У N друзей есть круглая пицца. Разрешается провести не более 100 прямолинейных разрезов, не перекладывая части до окончания разрезаний, после чего распределить все получившиеся кусочки между всеми друзьями так, чтобы каждый получил суммарно одну и ту же долю пиццы по площади. Найдутся ли такие разрезания, если а) N = 201; б) N = 400?

Решение

а) Пусть площадь пиццы равна 201. Тогда площадь вписанного в неё квадрата равна $\frac{402}{\pi} > 121$. Нарисуем внутри пиццы квадрат со стороной 11 так, чтобы центры квадрата и пиццы совпали. Проведя по 12 разрезов, параллельных сторонам квадрата, получим 121 кусок 1×1. Мысленно склеим куски пиццы вне квадрата и разобьём эту фигуру 40 разрезами через центр на 80 равновеликих кусков (в силу непрерывности это можно сделать, вращая диаметр). Всего хватило 64 разреза.

б) Пусть площадь пиццы равна 400. Тогда площадь вписанного правильного шестиугольника равна $\frac{600\sqrt{3}}{\pi} > 294$. Нарисуем внутри пиццы правильный шестиугольник площади 294 так, чтобы его центр и центр пиццы совпали. Отметим вершины и точки на сторонах шестиугольника так, чтобы каждая сторона разбилась на 7 равных частей. Если провести разрезы, параллельные сторонам шестиугольника через все отмеченные точки (всего таких разрезов 3⋅15 = 45), разобьём шестиугольник на 6⋅7² = 294 равных правильных треугольника площади 1. Мысленно склеим куски пиццы вне шестиугольника и разобьём эту фигуру 53 разрезами через центр на 106 равновеликих кусков. Всего хватило 98 разрезов.

Ответ

найдутся.

Замечания

Количество разрезов можно сильно уменьшить, если воспользоваться следующей общей идеей. Положим пиццу нужной площади на единичную сетку, совместив центр пиццы с центром одной из клеток. Проведём все разрезы по линиям сетки, пересекающим пиццу. В результате она разрежется на единичные порции и кусочки по краям, составляющие каёмку. С каемкой поступим, как в вышеизложенном решении. Но по сравнению с ним площадь каемки сильно уменьшится и разрезов потребуется меньше. Например, в пункте а), положив пиццу на квадрат 15×15 и проведя 32 разреза по линиям сетки, мы обнаружим, что кроме квадрата 11×11, она содержит ещё 56 клеток. Площадь каёмки будет равна 24, поэтому всего потребуется 32 + 12 = 44 разреза.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
год/номер
Номер 44
Дата 2022/23
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .