Задача 67209

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Авторы: Ивлев Ф., Марданов А.

На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $\angle BED = 3\angle BDE$. Точка $D'$ симметрична точке $D$ относительно прямой $AC$. Докажите, что прямая $D'E$ проходит через точку пересечения биссектрис треугольника $ABC$.

Решение

Пусть биссектрисы $AL$ и $CH$ пересекаются в точке $I$. Так как $\angle BLA=\angle BAL+\angle ACL=3\angle BAL$, то $DE\parallel AL$. Кроме того, $AD'\parallel BL$. При этом $LE:AD'=LE:AD=BL:BA=IL:IA$, следовательно, прямая $ED'$ проходит через $I$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2023
Заочный тур
задача
Номер	4 [8 кл]