На стороне BC треугольника ABC взята точка A₁ так, что  BA₁ : A₁C = 2 : 1.  В каком отношении медиана CC₁ делит отрезок AA₁?

   Решение

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ – основания высот остроугольного треугольника $ABC$. Окружность, вписанная в треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$, касается сторон $A_{1}B_{1}, A_{1}C_{1}, B_{1}C_{1}$ в точках $C_{2}, B_{2}, A_{2}$. Докажите, что прямые $AA_{2}, BB_{2}, CC_{2}$ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой Эйлера треугольника $ABC$.

Решение

Высоты треугольника $ABC$ являются биссектрисами углов треугольника $A_1B_1C_1$, которые перпендикулярны сторонам треугольника $A_2B_2C_2$, поэтому треугольники $ABC$ и $A_2B_2C_2$ гомотетичны. Центр гомотетии лежит на прямой, соединяющей центры описанных окружностей треугольников, т.е. прямой Эйлера треугольника $ABC$.

Источники и прецеденты использования