Задача 67216

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Курский М.

Пусть $H$ – ортоцентр остроугольного треугольника $ABC$; $E$, $F$ – такие точки на сторонах $AB$, $AC$ соответственно, что $AEHF$ – параллелограмм; $X$, $Y$ – точки пересечения прямой $EF$ с описанной окружностью $\omega$ треугольника $ABC$; $Z$ – точка $\omega$, диаметрально противоположная $A$. Докажите, что $H$ – ортоцентр треугольника $XYZ$.

Решение

Из условия следует, что $\angle BHE=\angle CHF=\pi/2$, следовательно, треугольники $BHE$ и $CHF$ подобны и $AF:EB=EH:EB=HF:FC=AE:EC$. Поэтому $AE\cdot EB=AF\cdot FC$, т.е. степени точек $E$ и $F$ относительно описанной окружности равны и середина $D$ отрезка $AH$ является также серединой $XY$. Поэтому средняя линия $OD$ треугольника $AHZ$ перпендикулярна $XY$. Значит, $ZH$ – высота треугольника $XYZ$, а поскольку точка $A$, симметричная $H$ относительно середины $XY$, лежит на описанной окружности, то $H$ – ортоцентр.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2023
Заочный тур
задача
Номер	11 [8-10 кл]