Условие
Замкнутая, возможно, самопересекающаяся ломаная симметрична относительно не лежащей на ней точки $O$. Докажите, что число оборотов ломаной вокруг $O$ нечётно. (
Числом оборотов вокруг $O$ называется сумма ориентированных углов $$\angle A_1OA_2+\angle A_2OA_3+\ldots+\angle A_{n-1}OA_n+\angle A_nOA_1,$$ делённая на $2\pi$.)
Решение
Из условия следует, что число звеньев ломаной чётно: $n=2k$. Так как точки $A_1$ и $A_{k+1}$ симметричны относительно $O$, то при движении от $A_1$ до $A_{k+1}$ вектор $OA_i$ поворачивается на угол $m\pi$, где $m$ нечётно. На такой же угол он поворачивается при движении от $A_{k+1}$ до $A_1$. Следовательно, число оборотов равно $\frac{2\pi m}{2 \pi} = m$, то есть нечётно.
Источники и прецеденты использования
