Задача 67223

Темы:    [ Четырехугольники (построения) ] [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Восстановите вписанно-описанный четырёхугольник $ABCD$ по серединам дуг $AB$, $BC$, $CD$ его описанной окружности.

Решение

Описанная окружность четырехугольника проходит через три данные точки, а хорды, соединяющие середины противоположных дуг, перпендикулярны. Поэтому можно найти середину дуги $DA$. Касательные к описанной окружности в серединах дуг параллельны сторонам четырехугольника, а поскольку оба четырехугольника описанные, то они гомотетичны. Следовательно, описав вокруг четырехугольника, образованного касательными, окружность и применив гомотетию, переводящую эту окружность в описанную окружность четырехугольника, мы восстановим четырехугольник.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2023
Заочный тур
задача
Номер	18 [9-11 кл]