Задача 67227

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Mudgal A., Srivastava P.

В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина $BC$, $P$ – ближайшая к $A$ точка пересечения луча $AM$ и вписанной окружности треугольника, $Q$ – дальняя от $A$ точка пересечения луча $AM$ и вневписанной окружности. Касательная к вписанной окружности в точке $P$ пересекает $BC$ в точке $X$, а касательная к вневписанной окружности в точке $Q$ пересекает $BC$ в точке $Y$. Докажите, что $MX=MY$.

Решение

Сделаем гомотетию с центром $A$, переводящую вневписанную окружность в вписанную. Пусть $B'$, $C'$, $M'$, $Q'$, $Y'$ – образы точек $B$, $C$, $M$, $Q$, $Y$ соответственно. Тогда $BB'C'C$ – трапеция, описанная около вписанной окружности треугольника, обозначим точки касания окружности со сторонами $BC$, $B'C'$, $BB'$, $CC'$ через $K$, $L$, $U$, $V$ соответственно. По теореме Брианшона точка $J$ пересечения отрезков $KL$ и $UV$ совпадает с точкой пересечения диагоналей трапеции и, следовательно, лежит на $AM$.

При этом $JK:JL=BC:B'C'$. Четырехугольник, образованный прямыми $PX$, $BC$, $Q'Y'$ и $B'C'$, описан вокруг той же окружности, значит его диагональ $XY'$ тоже проходит через $J$ и $XM:Y'M'=JK:JL$. Сделав обратную гомотетию, получаем искомое равенство.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2023
Заочный тур
задача
Номер	22 [10-11 кл]