|
|
 |
Условие
Высоты параллелограмма больше 1. Обязательно ли в него можно поместить единичный квадрат?Решение
Рассмотрим сначала задачу покрытия единичного квадрата полосой ширины $h$. Так как проекции диагоналей квадрата на прямую, перпендикулярную полосе, не могут превышать $h$, каждая из диагоналей должна образовывать с этой прямой достаточно большой угол. Выберем $h$ так, чтобы критическое значение угла равнялось $44^{\circ}$, тогда угол между границей полосы и одной из сторон квадрата будет не больше $1^{\circ}$.Возьмем теперь ромб с высотой $h$. Если в него можно поместить единичный квадрат, то каждая из сторон ромба образует с одной из сторон квадрата уголь, меньший $1^{\circ}$. Если эта сторона квадрата одна и та же для обеих сторон ромба, то острый угол ромба не превышает $2^{\circ}$. В противном случае острый угол ромба не меньше $88^{\circ}$. Следовательно, в ромб с высотой $h$ и острым углом $45^{\circ}$ поместить единичный квадрат невозможно.
Примечание. Из решения видно, что, если квадрат можно поместить в ромб с углом $45^{\circ}$, то можно и в любой параллелограмм с не меньшими высотами. Таким образом, наименьшее значение высоты, гарантирующее возможность поместить квадрат, равно $\sqrt{2}\sin 67,5^{\circ}$. Поместить единичный квадрат в ромб с такой высотой можно двумя способами:
