|
|
 |
Условие
В остроугольном треугольнике $ABC$ $O$ – центр описанной окружности, $BM$ – медиана, $BH$ – высота. Окружности $AOB$ и $BHC$ повторно пересекаются в точке $E$, а окружности $AHB$ и $BOC$ – в точке $F$. Докажите, что $ME=MF$.Решение
Продлим $BH$ до пересечения с описанной окружностью треугольника в точке $D$. Докажем, что точка $E$ лежит также на окружностях $DCO$ и $ADH$. Действительно, пусть $E'$ – вторая точка пересечения окружностей $ABO$ и $DCO$. Тогда $\angle BE'C=2\pi-\angle BE'O-\angle CE'O=\ BAO+\angle CDO=\pi-(\angle AOB+\angle COD)/2=\pi/2$, т.е. $E'$ совпадает с $E$. Аналогично получаем, что $F$ лежит на окружностях $CHD$ и $AOD$.Заметим теперь, что $\angle OEH=2\pi-\angle OEB-\angle BEH=\angle OAB+\angle BCH=\angle CBH+\angle BCH=\pi/2$, следовательно, $E$ лежит на окружности с диаметром $OH$. Аналогично на этой окружности лежит $F$. Очевидно, что $M$ также лежит на этой окружности.
Докажем, что прямые, симметричные $AF$, $BF$, $CF$, $DF$ относительно биссектрис углов $A$, $B$, $C$, $D$ соответственно, пересекаются в точке $E$. Пусть $P$, $Q$, $R$, $S$ – проекции $F$ на $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ соответственно. Тогда $\angle PSR+\angle PQR=\angle FSP+\angle FSR+\angle FQP+\angle FQR=\angle FAB+\angle FRC+\angle FBA+\angle FDC=\pi$, поскольку $\angle AFB=\angle CFD=\pi/2$. Значит точки $P$, $Q$, $R$, $S$ лежат на одной окружности. Тогда точки $P'$, $Q'$, $R'$, $S'$, симметричные $F$ относительно $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ тоже лежат на одной окружности. Поскольку, например, $AP'=AF=AS'$, серединный перпендикуляр к отрезку $P'S'$ совпадает с биссектрисой угла $P'AS'$, которая симметрична $AF$ относительно биссектрисы угла $A$. Таким образом, четыре прямые, симметричные $AF$, $BF$, $CF$, $DF$ относительно биссектрис соответствующих углов, пересекаются в одной точке – центре окружности $P'Q'R'S'$. Нетрудно видеть, что стороны $BC$ и $AD$ видны из этой точки под прямыми углами и, значит, она совпадает с $E$.
Наконец, получаем, что $\angle EHM=\angle EBC=\angle FCA=\angle FHM$ и, так как точки $E$, $F$, $H$, $M$ лежат на одной окружности, то $EM=FM$.
