Задача 67238

Темы:    [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

В треугольнике $ABC$ отношение медианы $AM$ к стороне $BC$ равно $\sqrt{3}:2$. На сторонах $ABC$ отмечены точки, делящие каждую сторону на 3 равные части. Докажите, что какие-то 4 из этих 6 отмеченных точек лежат на одной окружности.

Решение 1

Используя формулу медианы, получаем $AM^2=(2b^2+2c^2-a^2)/4=3a^2/4$, т.е. $b^2+c^2=2a^2$. Тогда квадрат медианы из вершины $B$ равен $(2a^2+2c^2-b^2)/4=3c^2/4$, аналогично квадрат медианы из вершины $C$ равен $3b^2/4$. Следовательно, треугольник, образованный медианами, подобен треугольнику $ABC$.

Пусть теперь точки $A_1$, $A_2$ лежат на стороне $BC$, $B_1$, $B_2$ – на стороне $CA$, $C_1$, $C_2$ – на стороне $AB$ так, что $BA_1=A_1A_2=A_2C$, $CB_1=B_1B_2=B_2A$, $AC_1=C_1C_2=C_2B$. Тогда, например, в треугольнике $BC_1A_2$ медиана $C_1A_1=2AM/3$, т.е. треугольник $A_1B_1C_1$ подобен треугольнику из медиан, а значит, и треугольнику $ABC$. Поэтому $\angle A_1B_1C_1=\angle A=\angle A_1C_2B$ и окружность $A_1B_1C_1$ проходит через $C_2$.

Решение 2

Пусть отрезки $B_1C_2$ и $A_1C_1$ пересекаются в точке $O$. Покажем, что это диагонали вписанного четырехугольника. Несложно найти, в каких отношениях они друг друга делят: $C_1O=A_1O=x$, $B_1O=3y,$ $C_2O=y$. Также понятно, что $A_1C_1=\frac23 AM $, $B_1C_2=\frac23 BC$, откуда $A_1C_1:B_1C_2=AM:BC=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Получаем $\frac{2x}{4y}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, значит $x^2=3y^2$, поэтому $B_1O\cdot C_2O=C_1O\cdot A_1O$. То есть $B_1C_1C_2A_1$ вписанный по утверждению о степени точки.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2023
класс
Класс	9
задача
Номер	9.1