Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 67239

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
Темы:	[	Наглядная геометрия	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Юран А.Ю.

Можно ли поместить правильный треугольник внутрь правильного шестиугольника так, чтобы из любой вершины шестиугольника были видны все три вершины треугольника? (Точка $A$ видна из точки $B$, если отрезок $AB$ не содержит внутренних точек треугольника.)

Прислать комментарий Решение

Задача 67242

Тема:

[

Теорема синусов

]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Марданов А.

На боковой стороне $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ выбрана точка $D$. Луч $AD$ пересекает прямую, проходящую через вершину $B$ и параллельную основанию $AC$, в точке $E$. Докажите, что касательная к описанной окружности треугольника $ABD$ в точке $B$ делит отрезок $EC$ пополам.

Прислать комментарий Решение

Задача 67238

Темы:	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

В треугольнике $ABC$ отношение медианы $AM$ к стороне $BC$ равно $\sqrt{3}:2$. На сторонах $ABC$ отмечены точки, делящие каждую сторону на 3 равные части. Докажите, что какие-то 4 из этих 6 отмеченных точек лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 67240

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Проективные преобразования плоскости	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Бибиков П.

Дан треугольник $ABC$. Точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ берутся на его описанной окружности так, что $A_1B_1\parallel AB$, $A_1A_2\parallel BC$, $B_1B_2\parallel AC$. Прямые $AA_2$ и $CA_1$ пересекаются в точке $A'$, а прямые $BB_2$ и $CB_1$ – в точке $B'$. Докажите, что все прямые $A'B'$ проходят через одну точку.

Прислать комментарий Решение

Задача 67243

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Забазнов Г.

Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$. Пусть $H$ и $M$ – точка пересечения высот и середина стороны $BC$ соответственно. Прямая $HM$ пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $BHC$, в точке $N\not=H$. На дуге $BC$ окружности $\omega$, не содержащей точку $H$, нашлась точка $P$ такая, что $\angle HMP=90^{\circ}$. Отрезок $PM$ пересекает $\Omega$ в точке $Q$. Точки $B'$ и $C'$ симметричны точке $A$ относительно точек $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников $AB'C'$ и $PQN$ касаются.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]